Exponentielle

Approche vulgarisée

Si a est un nombre réel et n est un nombre entier, alors l'« exponentielle de n en base a » est égale à « a puissance n » soit :

(n fois)

On peut étendre cette fonction aux nombres non entiers. On démontre alors que les exponentielles sont les fonctions réciproques des logarithmes log_a, et d'autre part que les fonctions trigonométriques peuvent s'exprimer de manière simple avec des exponentielles.

Ces fonctions se dérivent et s'intègrent de manière très simple, et interviennent dans de nombreuses solutions d'équations différentielles.

Il existe une base e telle que l'exponentielle de base e est la fonction réciproque du logarithme népérien ln.

Équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger (le ö se prononce « eu »), conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en physique quantique. Elle décrit l'évolution dans le temps d'un système et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique.

Naissance de l'équation

Au début du XX^e siècle, il était devenu clair que la lumière présente une dualité onde-corpuscule, c'est-à-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon, soit comme une onde électromagnétique. Louis de Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues bien que cette hypothèse eût pour conséquence paradoxale que les électrons devaient pouvoir produire des interférences comme la lumière, ce qui fut vérifié ultérieurement par l'expérience. Par analogie avec le photon, Louis de Broglie associa ainsi à chaque particule libre d'énergie $E$ et d'impulsion $p$ une frequence $ν$ et une longueur d'onde $λ$ :

L'équation de Schrödinger, trouvée par le physicien éponyme Erwin Schrödinger en 1925, est une équation d'onde qui généralise l'approche de de Broglie ci-dessus aux particules en présence d'un potentiel, dont l'énergie totale est :

Le succès de cette nouvelle équation fut immédiat sur les niveaux quantifiés d'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène, car elle permit d'expliquer les raies d'émission de l'hydrogène : séries de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, etc. Toutefois, elle suscita également beaucoup de méfiance en raison du caractère probabiliste qu'elle introduisait

Énoncé de l'équation

En mécanique quantique, l'état à l'instant t d'un système est décrit par un élément |Ψ(t)> de l'espace complexe de Hilbert — est utilisée la notation bra-ket de Paul Dirac. |Ψ(t)> représente les probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d'un système.

L'évolution temporelle de |Ψ(t)> est décrite par l'équation de Schrödinger

où

i est le nombre imaginaire ;
est la constante de Planck réduite h/2π ;
H est l'hamiltonien, l'observable correspondant à l'énergie totale du système ;
est l'observable position ;
est l'observable impulsion.

Il est à noter que, contrairement aux équations de Maxwell gérant l'évolution des ondes électromagnétiques, l'équation de Schrödinger est non relativiste. Notons également que cette équation ne se démontre pas : c'est un postulat. Elle a été supposée correcte après que Davison et Germer eurent confirmé expérimentalement l'hypothèse de Louis de Broglie.

Résolution de l'équation

L'équation de Schrödinger est une équation aux dérivées partielles faisant intervenir des opérateurs linéaires, ce qui permet d'écrire la solution générique comme somme de solutions particulières. L'équation est dans la grande majorité des cas trop compliquée pour admettre une solution analytique de sorte que sa résolution est approchée et/ou numérique.

Rareté d'une résolution analytique exacte

La recherche des états propres de l'hamiltonien est en général complexe. Même le cas analytiquement soluble de l'atome d'hydrogène ne l'est rigoureusement sous forme simple que si l'on néglige le couplage avec le champ électromagnétique qui va permettre le passage des états excités, solutions de l'équation de Schrödinger de l'atome, vers le fondamental.

Certains modèles simples, bien que non tout à fait conformes à la réalité, peuvent être résolus analytiquement et s'avèrent très utiles :

particule libre (potentiel nul) ;
oscillateur harmonique (potentiel quadratique) ;
particule se déplaçant sur un anneau ;
particule dans puits de potentiel rectangulaire ;
particule dans guide d'onde annulaire ;
particule dans un potentiel à symétrie sphérique ;
particule dans un réseau unidimensionnel (potentiel périodique).

Dans les autres cas, il faut faire appel aux diverses techniques d'approximation numérique, notamment la théorie des perturbations.

Généralisation de l'équation

La généralisation au domaine relativiste mena à l'équation de Klein-Gordon, puis à l'équation de Dirac ; cette dernière établit l'existence du spin et des antiparticules.

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